Аскар Елемесов является выпускником экономического факультета МГУ им. Ломоносова (Москва) и школы бизнеса Вашингтонского университета в Сент-Луисе (Сент-Луис, США). Свою трудовую деятельность начал в сфере международной торговли в 1990 году. В финансовом секторе с 1994 года. За это время работал в правлениях и советах директоров крупнейших коммерческих банков Казахстана (Казкоммерцбанк/Qazkom, Халык/Halyk, ТуранАлем/BTA, Каспийский/Kaspi, Сбербанк России в Казахстане/Bereke), руководил расположенными в Алматы дочерними компаниями инвестиционных банков (Deutsche Bank, Тройка Диалог), был заместителем Национального банка и вице-министром финансов Республики Казахстан, возглавлял Ассоциацию финансистов Казахстана и филиал российского рейтингового агентства АКРА.
Также начиная с 2000 года избирался как представителем акционеров, так и независимым директором в советы директоров таких крупных эмитентов, как Самрук, НАК «Казатомпром», «КазМунайГаз», «Казпочта», Банк Развития Казахстана, Казахстанская жилищная компания, НУХ «КазАгро», ФРП «Даму», равно как и важнейших системообразующих институтов рынка капиталов, как KASE (Казахстанская фондовая биржа), ЕНПФ (Единый накопительный пенсионный фонд), Единый регистратор ценных бумаг (в данное время – Центральный депозитарий).
В настоящее время является председателем экспертного совета Definition, крупнейшей в Центральной Азии компании по финансовым коммуникациям и отношениям с инвесторами (definition.city) и независимым директором в АО «ЕНПФ», KASE и в Банке Развития Казахстана.